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선형대수 기초

scalar, vector, matrix

scalar(스칼라)
•
하나의 숫자
•
s∈Rs \in \mathbb{R}
•
소문자로 표기
•
e.g. 3.8
vector(벡터)
•
순서가 있는 숫자 목록
•
x=[x1x2...xn]∈Rn\bold{x} =\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ . \\ . \\ . \\ x_n \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^n
•
소문자 bold체로 표기
•
e.g. x=[102]\bold{x}=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}
matrix
•
two-dimensional array of numbers
•
대문자로 표기
•
e.g. A=[163452]A=\begin{bmatrix} 1 & 6 \\ 3 & 4 \\ 5 & 2 \end{bmatrix}
•
matrix의 크기는 m x n과 같이 표현하며 m은 행(row)의 수, n은 열(column)의 수 이다. 위의 예시에서는 3 x 2이다.
•
row vector → horizontal vector, column vector → vertical vector

column vector / row vector

•
column vector : n차원 벡터, nx1 크기의 matrix
◦
x=[x1x2]∈Rn×1\bold{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{n \times 1}
•
row vector: column vector의 transpose 형태. 1xn 크기의 matrix
◦
xT=[x1x2]∈R1×n\bold{x}^T = \begin{bmatrix} x_1 & x_2\end{bmatrix}\in \mathbb{R}^{1 \times n}

matrix 의 종류 / 표기 / 성질

Squre matrix
•
row 수와 column 수가 같은 행렬
•
A∈Rn×nA \in \mathbb{R}^{n \times n}
Rectangular matrix
•
row 수와 column 수가 다른 행렬
•
A∈Rm×nA \in \mathbb{R}^{m \times n} ( m≠nm≠n )
Transpose of matrix
•
주 대각선 (main diagonal) 을 기준으로 mirroring:
•
A=[163452],AT=[135246]A=\begin{bmatrix} 1 & 6 \\ 3 & 4 \\ 5 & 2 \end{bmatrix}, A^T=\begin{bmatrix} 1 & 3&5\\ 2&4&6 \end{bmatrix}
특정 요소 표기
•
AijA_{ij} : A의 i행 j열의 요소
•
Ai,:A_{i, :} : A의 i번째 row vector
•
A:,jA_{:, j} : A의 j번째 column vector

matrix 연산

addition
•
C = A + B
•
element-wise addition
•
같은 위치의 요소들을 더한다 i.e. Cij=Aij+BijC_{ij} = A_{ij} + B_{ij}
•
A, B, C는 같은 size이다
Scalar multiple of vector / matrix
•
ca,cAc\bold{a}, cA
•
e.g. 2[321]=[642]2 \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ 4 \\ 2\end{bmatrix}
matrix-matrix multiplication
•
i.e. Cij=∑kAi,kBk,jC_ij = \sum_k A_{i,k}B_{k,j}
•
e.g.
◦
[163452][1−121]=[1351119−3]\begin{bmatrix} 1&6\\3&4\\5&2\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&-1 \\ 2&1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 13&5 \\ 11&1 \\ 9&-3 \end{bmatrix}
◦
[321][135]=[14]\begin{bmatrix} 3&2&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1\\3\\5\end{bmatrix}=[14]
◦
[135][12]=[1236510]\begin{bmatrix} 1\\3\\5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&2\\3&6\\5&10\end{bmatrix}

matrix 연산의 성질

•
AB ≠ BA : matrix 곱은 교환법칙이 성립하지 않는다 (not commutative)
•
A(B+C) = AB+AC : 분배법칙 (Distributive)
•
A(BC) = (AB)C : 결합법칙 (Associative)
•
(AB)T=BTAT(AB)^T = B^TA^T : property of transpose
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